Положу уходит дождливый октябрьский день, и мы, как всегда, сидим в классе по математике. Все наши тетради и учебники разбросаны по партам, а наши глаза немного смутно смотрят на доску, где написано: «Прямая у = -x — 3 является касательной к графику функции… Как решить?«.
Мне, как ученику, немного сложно понять, что означает касательная к графику функции. Я попытаюсь вникнуть в эту проблему и попытаюсь разобраться с этим вопросом.
Казалось бы, изначально единственным способом решить эту задачу является нахождение производной функции и проверка совпадения угловых коэффициентов прямой и графика функции в точке касания. Однако, для того чтобы решить эту задачу более глубоко, необходимо понять, что такое производная.
Давайте начнем сначала. Что же такое касательная? В геометрии касательная – это прямая, которая касается графика функции в определенной точке и имеет только одну общую точку с этим графиком. Но как найти эту точку?
Для начала, давайте снова вспомним, что такое производная функции. Производная – это скорость изменения функции в каждой точке графика. Если производная функции в точке существует и не является бесконечной, то она показывает наклон касательной к графику функции в этой точке.
Таким образом, для того чтобы найти точку касания прямой и графика функции, необходимо найти такую точку, в которой значение производной функции будет соответствовать угловому коэффициенту прямой.
Давайте предположим, что наша функция имеет вид y = f(x). Для того чтобы найти производную функции f(x), необходимо взять производную по x от формулы функции. Полученная производная будет являться наклоном касательной к графику функции в каждой точке.
Таким образом, если мы имеем прямую у= -x — 3, то значение ее углового коэффициента равно -1. Значит, чтобы найти точку касания этой прямой с графиком функции, необходимо решить уравнение dx/dy = -1 для функции f(x).
Для большей ясности рассмотрим пример. Предположим, что наша функция имеет вид y = x^2 + 3. Для того чтобы найти производную функции f(x), необходимо взять производную по x от формулы функции. Полученная производная будет являться наклоном касательной к графику функции в каждой точке.
Таким образом, dx/dy = 2x. Чтобы найти точку касания прямой y = -x — 3 с графиком функции f(x) = x^2 + 3, необходимо решить уравнение 2x = -1.
Получаем x = -1/2. Подставляя найденное значение x в уравнение функции, получаем y = (-1/2)^2 + 3 = 1/4 + 3 = 3 1/4.
Таким образом, точка касания прямой y = -x — 3 и графика функции f(x) = x^2 + 3 имеет координаты (-1/2, 3 1/4).
И ответом на наш вопрос является то, что прямая у = -x — 3 является касательной к графику функции f(x) = x^2 + 3.